天秤で偽物を見つけるゲーム：最少回数の推理

数え方の下地：1回の天秤は3通りの答えを返す

はかった結果は「左が重い」「右が重い」「つり合い」の3通りです。k回はかれば、結果の並びは最大で3のk乗通りになります。偽物の候補がそれより多ければ、どう工夫しても見分けられません。

偽物が「重い」と分かっている場合、見分けられる硬貨の最大枚数は次のとおりです。

• 1回、見分けられる最大枚数：3枚
• 2回、見分けられる最大枚数：9枚
• 3回、見分けられる最大枚数：27枚

9枚を2回で見つけるには、最初に3枚対3枚で比べ、机に3枚を残します。結果にかかわらず、候補は3枚に絞られます。残り1回で、1枚対1枚にして1枚を机に残せば決まります。

この考え方から、設計の判断基準になる規則が出ます。残りk回なら、はかった後に残る候補の塊は、どの結果でも3の(k−1)乗枚以下でなければなりません。2回で9枚なら、左・右・机のどれも3枚以下です。この規則を、実験で人の手とすり合わせます。

偽物が重いか軽いかが分からない場合は、12枚を3回で見分けられることが古典として知られています。ただし、それを遊べるようにするには別のコードが必要です。この記事は「重い偽物が1枚」の版に絞ります。

実験の問いと準備するもの

実験で確かめる問いは次の3つです。

1. 枚数Nが同じとき、プレイヤーは理論上の最少回数に届くか。
2. 届かない人は、最初の分け方のどこでつまずくか。
3. Nを変えると、最少回数に届く割合はどう変わるか。

準備するものは、次の4つです。

• 下のHTMLを保存したファイル（1枚で動き、外部通信は不要です）
• 遊んでもらう人。ルールを知らない人と知っている人を、分けて数えます。
• 記録用の表（下の「手順と記録」参照）
• 時間を測る道具（任意）

コードは、硬貨をクリックして「机・左・右」を切り替え、「はかる」で結果を履歴に積みます。偽物と思う硬貨の「偽物?」を押すと答えになり、記録が画面に出ます。枚数は先頭のNで変えます。

<!doctype html>
<meta charset="utf-8">
<title>天秤の推理</title>
<div id="coins"></div>
<p><button id="w">はかる</button> <button id="n">新しい問題</button></p>
<p id="log"></p>
<ol id="h"></ol>
<script>
const N = 9; // 硬貨の枚数。ここを変えて試します
const rec = [];
let fake, count, side, done;
const $ = id => document.getElementById(id);
function start() {
  fake = Math.floor(Math.random() * N);
  count = 0; done = false;
  side = Array(N).fill(0); // 0=机 1=左 2=右
  $('h').innerHTML = '';
  $('log').textContent = N + '枚のうち1枚が重い偽物です。';
  draw();
}
function draw() {
  $('coins').innerHTML = '';
  side.forEach((s, i) => {
    const m = document.createElement('button');
    m.textContent = (i + 1) + ['：机', '：左', '：右'][s];
    m.onclick = () => { if (!done) { side[i] = (side[i] + 1) % 3; draw(); } };
    const a = document.createElement('button');
    a.textContent = '偽物?';
    a.onclick = () => answer(i);
    $('coins').append(m, a, document.createElement('br'));
  });
}
$('w').onclick = () => {
  if (done) return;
  const L = side.filter(s => s === 1).length;
  const R = side.filter(s => s === 2).length;
  if (L === 0 || L !== R) { $('log').textContent = '左右の枚数をそろえてください（数えません）。'; return; }
  count++;
  const r = side[fake] === 1 ? '左が重い' : side[fake] === 2 ? '右が重い' : 'つり合い';
  const li = document.createElement('li');
  li.textContent = '左' + L + '枚 対 右' + R + '枚 → ' + r;
  $('h').append(li);
};
function answer(i) {
  if (done) return;
  done = true;
  rec.push({ n: N, weighings: count, ok: i === fake });
  $('log').textContent = (i === fake ? '正解' : '不正解') + '。はかった回数は' + count + '回。記録：' + JSON.stringify(rec);
}
$('n').onclick = start;
start();
</script>

手順と記録の取り方

最少回数を先に決めておく

Nごとの理論上の最少回数は、表の枚数から決まります。

• N＝3は1回です。
• N＝4から9は2回です。
• N＝10から27は3回です。

注意点として、N＝8でも最少は2回です。3枚・3枚・2枚と分ければ足ります。実験の前に、この対応を記録表の列に書き込んでおきます。

進め方

1. 練習としてN＝3を1回だけ遊んでもらいます。操作に慣れてもらうのが目的で、記録には入れません。
2. 本番のNを、人ごとに順番を入れ替えて渡します。たとえば、ある人は9→8→27、別の人は27→9→8のようにします。順番が固定だと、「前の問題で学んだ分」が結果に混ざります。
3. 同じNを1人につき3回ずつ遊んでもらいます。1回だけでは偶然との区別がつきません。
4. 遊んでいる間はヒントを出さず、「最少回数がある」ことも伝えません。伝えると、最初の分け方に影響します。
5. 遊び終えるたびに、画面の記録と、最初の1回の分け方を書き留めます。

1回ごとに記録する項目

• 参加者、記録する内容：名前ではなく番号（ルール既知かどうかも記入）
• N、記録する内容：硬貨の枚数
• 回数、記録する内容：画面に出る「はかった回数」
• 最少との差、記録する内容：回数から理論上の最少を引いた値
• 最初の分け方、記録する内容：左・右・机の枚数（例：3・3・3）
• 正誤、記録する内容：画面の正解／不正解
• 時間、記録する内容：任意。1回あたり、開始から答えまで

画面の記録はページを閉じると消えます。1人ごとに表へ転記してください。

結果の読み方

結果が出たら、まず「最少との差」を見ます。差が0の割合を、Nごとに出します。

次に、最初の分け方で分類します。見るのは、左・右・机のどれかが、残りの回数で処理できる上限を超えていないかです。

• N＝9なら、3・3・3の人は規則を満たしています。4・4・1の人は、傾いたときに4枚が残り、2回目では1回に収まりません。
• N＝8でも、4・4・0の人は、傾いたときに4枚が残るので、全体で3回になります。3・3・2なら2回で収まります。
• N＝27なら、9・9・9が規則を満たす分け方です。

読み方の例を挙げます。

• 差が0の人の多くが規則を満たす分け方をしているなら、最少回数に届けるかどうかは、最初の1手でほぼ決まります。ゲームの山場は最初の分け方に置けます。
• 規則を満たす分け方でも差が0にならない人がいるなら、2回目以降の分け方でつまずいています。履歴の見せ方や、候補が残っている硬貨の目印を足す価値があります。
• ルール既知の人としない人で差が大きいなら、この問題は「知っているか」で決まる面が強いと読めます。初見の人向けに、枚数を3→9→27と段階的に増やす導線が必要です。
• どのNでも差が0の人がほとんどいなければ、難しすぎます。硬貨の候補を絞り込んだ状態を示す、一手ヒントを足すことを考えます。

N＝3でほぼ全員が最少なのは、たぶん当然です。見るべきなのは、Nを上げたときに差が0の割合が下がり始める位置です。そこが、このゲームの難易度の曲がり角になります。

起こりやすい誤り

• 偶然の正解を最少回数と混ぜる。 コードは、はかる前でも答えを押せます。N＝9で0回のまま当てた人は、運の正解です。表では、回数が最少を下回る記録は別枠にして集計から外してください。
• 回数が少なすぎる。 1人1回だけでは、偶然と実力を分けられません。人数が少ないときは、人数を増やすより、同じ人の回数を増やすほうが読みやすくなります。
• 順番の偏り。 Nの順番を固定すると、学習の効果がNの違いに見えます。入れ替えを忘れないでください。
• 数えない失敗の混入。 左右の枚数が違うと、コードは回数を数えません。ただし、この操作が多い人は、規則を理解していないかもしれません。回数とは別にメモしておくと、説明画面の改善材料になります。
• 偽物の位置の偏り。 偽物はランダムですが、少ない回数では偏って見えることがあります。位置が原因に見えたときは、回数を増やして確かめてください。
• 対象外の版を混ぜる。 「重いか軽いか分からない」版は、このコードでは動きません。結果の分け方も変わるので、別の実験にしてください。

次の行動

まず上のコードをファイルに保存し、N＝9で自分で1回遊んでみてください。そのうえで、2〜3人にNの順番を入れ替えて渡し、記録表に「最少との差」と「最初の分け方」を書き留めます。この単独のHTMLは、index.htmlとしてアソバースの投稿画面に入れられます。公開前の表示確認で、操作が伝わるかを見られます。