オセロの盤面は何通りあるか：数えられない数と、数えられる数

上限は掛け算で出せます

3の累乗は、次のように手計算でも追えます。

• 3の10乗は59,049です。
• 3の20乗はおよそ35億です（3,486,784,401）。
• 3の40乗は、その2乗でおよそ1.2×10の19乗です。
• 3の60乗はおよそ4.2×10の28乗で、64乗にするにはさらに81倍します。

この3.4×10の30乗は、「どんな盤面もあり得ると仮定した上限」です。現実の局面がこれより大幅に少なくなる理由は、次の3つです。

• 中央4マスは必ず埋まっているので、「全部が空の盤面」は存在しません。
• 石の数は「4個＋置いた手数」で決まり、最大でも64個です。石が3個以下の盤面にはなりません。
• 返すルールがあるため、石が置ける順序では作れない配置があります。

つまり、上限より現実の数は小さくなります。ただし、どれだけ小さいかは掛け算では出せません。

現実の局面数を、身近な時間に置き換えます

到達できる局面の数については、研究者による見積もりが公開されています。一般に知られている範囲では、10の28乗前後という桁です。厳密に数え切った値ではなく、見積もりである点には注意してください。公開されている解析で、手法と数字を直接確認することをおすすめします。

ここでは、10の28乗が正しいものと仮定して、身近な時間に置き換えてみます。

1. コンピューターが1秒に10億（10の9乗）個の局面を数えられるとします。
2. 10の28乗を10の9乗で割ると、10の19乗秒です。
3. 1年はおよそ3.2×10の7乗秒なので、年に直すと約3,000億年です。
4. 宇宙の年齢は約138億年と言われます。3,000億年はその約23倍です。

1秒に10億局面という速さは、日常の感覚ではとてつもない速さです。それでも、全局面を1つずつ数えるには宇宙の年齢の20倍以上かかる計算になります。これが「数えられない数」の実感です。

さらに大きい数もあります。局面ではなく「手順」を数えた、ゲーム木と呼ばれる数です。ゲーム木とは、初期配置から「この手の次はこの手」と枝分かれしていく手順全体のことで、10の58乗前後と見積もられていると言われています（こちらも公開されている解析で確認してください）。10の28乗でさえ数えられないのに、その右にさらに0が30個並ぶ規模です。

この桁感は、仮定の掛け算でも確かめられます。1手あたりの選択肢が平均10通りだと仮定すると、60手で10の60乗です。実際の平均は序盤と終盤で違うので、これはあくまで桁を感じるための仮定です。「毎手10通り前後」という素朴な見積もりが、10の58乗と同じ桁に近づくことは、手計算で確認できます。

数えられる範囲：手順の数と局面の数は別物です

一方で、序盤なら人間にも数えられます。黒が先手の初期配置では、黒の合法手は4通りです。たとえば黒がd3に置いたとします。盤上には、d3・d4・d5・e4が黒、e5が白という状態が残ります。ここで白が置けるのは、c3・e3・c5の3通りです。それぞれ、斜め・縦・横の1方向で黒をはさめるからです。他の3つの初手も、盤を回転・反転させれば同じ形なので、2手目も各3通りになります。したがって、2手後までの手順は4×3の12通りです。

ここで、2つの数を区別しておきます。

• 手順の数：どの順番で置いたかまで区別して数えた数です。
• 局面の数：結果として盤面が同じなら1つと数える数です。

別々の手順が同じ盤面にたどり着くことを、転置と呼びます。転置が起きると、手順の数は局面の数より多くなります。ここに規模の秘密があります。手順の数は、ゲーム木のように爆発的に増えます。局面の数は転置のぶんだけ抑えられますが、それでも爆発は止まりません。

転置がどの手数から現れるか、その差がどのくらい開いていくかは、実際に数えて確かめる問いとして使えます。ここでは結果を書かず、次の節で数え方を示します。

自分で数える設計書

問いは「序盤の手順の数と局面の数は、手数が進むとどう開いていくか」です。以下のコードをHTMLファイルとして保存し、ブラウザで開けば動きます。外部ライブラリは不要です。黒を1、白を−1、先手は黒とし、パスは深さを消費しないものとして扱っています。

<pre id="o"></pre>
<script>
const D=[[-1,-1],[-1,0],[-1,1],[0,-1],[0,1],[1,-1],[1,0],[1,1]];
const ok=(y,x)=>y>=0&&y<8&&x>=0&&x<8;
function start(){const b=Array(64).fill(0);b[27]=b[36]=-1;b[28]=b[35]=1;return b;}
function flips(b,i,p){
  if(b[i]) return [];
  const r=i>>3, c=i&7, out=[];
  for(const [dr,dc] of D){
    const line=[]; let y=r+dr, x=c+dc;
    while(ok(y,x)&&b[y*8+x]===-p){line.push(y*8+x); y+=dr; x+=dc;}
    if(line.length&&ok(y,x)&&b[y*8+x]===p) out.push(...line);
  }
  return out;
}
function moves(b,p){
  const m=[];
  for(let i=0;i<64;i++){const f=flips(b,i,p); if(f.length) m.push([i,f]);}
  return m;
}
function play(b,p,i,f){const nb=b.slice(); nb[i]=p; for(const j of f) nb[j]=p; return nb;}
function paths(b,p,d){
  if(d===0) return 1;
  let m=moves(b,p);
  if(!m.length){p=-p; m=moves(b,p);}
  let n=0;
  for(const [i,f] of m) n+=paths(play(b,p,i,f),-p,d-1);
  return n;
}
function positions(depth){
  let layer=new Map([[start().join(',')+'|1',[start(),1]]]), res=[];
  for(let d=1;d<=depth;d++){
    const next=new Map();
    for(const [b,p] of layer.values())
      for(const [i,f] of moves(b,p)){
        const nb=play(b,p,i,f), q=moves(nb,-p).length?-p:p;
        next.set(nb.join(',')+'|'+q,[nb,q]);
      }
    layer=next; res.push(layer.size);
  }
  return res;
}
const MAX=7, P=positions(MAX), o=[];
for(let d=1;d<=MAX;d++) o.push(`${d}手後 手順 ${paths(start(),1,d)} / 局面 ${P[d-1]}`);
document.getElementById('o').textContent=o.join('\n');
</script>

記録の取り方

数え方は決まった手順なので、同じコードなら何度実行しても同じ結果になります。回数を重ねるより、検算を丁寧に行うほうが大切です。

1. まず1手後と2手後の数を見ます。手順は4と12になっていなければなりません。違えば、初期配置の色か、石を返す処理にバグがあります。
2. 次に、MAX を1から順に増やし、次の表を埋めます。

• 1、手順の数：、局面の数：、手順÷局面：、前の手数からの倍率（手順）：
• 2、手順の数：、局面の数：、手順÷局面：、前の手数からの倍率（手順）：
• …、手順の数：、局面の数：、手順÷局面：、前の手数からの倍率（手順）：

MAX は7から8あたりまでにしておきます。これを超えると処理が重くなり、ブラウザが固まることがあります。

結果の読み方

• 手順÷局面が1のままの手数は、転置がまだ起きていない範囲です。1を超えた最初の手数が、転置の始まりです。
• この比が手数とともに大きくなるなら、同じ盤面に別の道筋でたどり着く場合が増えていると読めます。
• 倍率の列は、1手進むごとに何倍に増えるかを表します。倍率が数倍のまま保たれるなら、60手に向けて指数的に増えていくという感覚が得られます。手順の倍率と局面の倍率を比べると、どちらが爆発的に増えるかも見えてきます。
• 倍率が途中で落ちる場合は、パスや盤の端の影響が出ていないか、コードの設定を見直してください。

起こりやすい誤り

• 石を返す方向は8方向すべてを調べます。縦と横だけにすると、数が少なく出ます。
• 初期配置の色を取り違えると、手順の数が最初から合いません。d4とe5が白、d5とe4が黒です。
• 局面の重複を調べるときは、盤面だけでなく手番もキーに入れます。同じ盤面でも手番が違えば、別の局面だからです。

公式作品から読み取れること

アソバースの「潮目のオセロ」は、確認済みの機能として、ひとり対局に3段階の相手、返る石のプレビュー、理由付きヒント、一手戻すを備えています。オンライン対局では、置けない手番は自動でパスになり、手番・合法手・勝敗はサーバーで確認される仕様です。

ここから読み取れることがあります。これらの機能は、盤面ごとにルールから合法手を計算する形で成り立っています。10の28乗規模の局面を、あらかじめ表にして持っておくことはできません。自動パスも、手がない状況をその都度判定して処理しているということです。ヒントや3段階の相手の内部でどんな探索をしているかは、確認済み事項にないので、ここでは扱いません。この部分は、作品を開いて遊びながら、プレビューやヒントの出方から確かめてください。

「灯りのチェス」も参考になります。判定エンジンにchess.jsを同梱し、CPUの思考時間を約450ミリ秒に制限しています。チェスの局面数はオセロよりさらに大きく、すべてを読み切ることはできません。時間に上限を置く設計は、そうした規模を前提にしたものとして読めます。

次の行動

上のコードを保存して開き、1手後が4、2手後が12になることを確かめてください。そのうえで、MAX を1つずつ増やして表を埋め、手順と局面の差が開き始める手数を探してみましょう。表を眺めたあとで「潮目のオセロ」を開き、返る石のプレビューやヒントが、その場の盤面からどう計算されていそうかを考えながら1局遊ぶと、数の大きさと遊びの手触りがつながります。