小さな軌道の重力は本物か：二体問題を簡単にした計算

「本物」を三つに分けて考える

「重力は本物か」という問いは、次の三つに分けると答えやすくなります。

• 星に向かって引かれて曲がるか、確かめる手がかり：確認済み（引力で曲がる軌道）
• 引力が距離の2乗に反比例するか（逆二乗則）、確かめる手がかり：作品内の挙動から推測するしかない
• 現実の天体で起きる他の効果まで含むか、確かめる手がかり：含まない可能性が高いが、作品を開いて確かめる

一つ目は作品の説明どおりです。二つ目の逆二乗則は、ニュートンの万有引力の式に出てくる性質で、距離が2倍になると引力は4分の1になります。この法則のもとでは、軌道は円・楕円・放物線・双曲線のいずれかになります。ケプラーの法則はこの結果として説明できます。

三つ目の「他の効果」には、別の天体からの引力（三体以上の相互作用）、大気抵抗、天体の自転や形のゆがみ、相対性理論の補正などがあります。小さなゲームが全部を扱うとは考えにくいものの、扱っているかどうかは作品を開いて挙動で確かめる事柄です。ここで断定はしません。

二体問題はなぜ簡単にできるのか

二つの天体が互いの引力だけで動く問題を、二体問題と呼びます。この問題は、数式で軌道の形を完全に書き下せる数少ない重力の問題です。

もとの問題では、二つの天体がどちらも動き、共通の重心のまわりを回ります。ところが片方が圧倒的に重いと、重心はその重い天体のすぐ近く（月と地球の組み合わせでも、重心は地球の内部にあります）になります。そのため「重い星は動かず、軽い物体だけが動く」と近似しても、軌道の形はほとんど変わりません。ロケットや探査機の軌道を考える場面でも、よく使われる近似です。

この近似を採ると、計算は次のように短くなります。

1. 星を原点に固定します。
2. 物体の位置から星までの距離 r を求めます。
3. 引力の加速度は大きさ GM／r² で、向きは星の方向です。
4. 加速度から速度を、速度から位置を少しずつ更新します。

この更新を繰り返す方法を数値積分と呼びます。変数は位置と速度だけなので、「角度と初速を決める」というゲームの操作とそのまま対応します。

この近似の下で、覚えておくと便利な目安が二つあります。同じ距離 r から測ると、円軌道になる初速を v とするとき、脱出して戻ってこない最小の初速はその √2 倍（約1.41倍）です。初速がその間なら楕円軌道になります。

作品を開いて確かめる実験設計

ここからは、読者が自分で行う確認の手順です。結果はここでは書きません。やって初めて分かることです。

問い

「小さな軌道」の軌道は、逆二乗則で動く二体問題の性質と矛盾しないか。

準備するもの

• 「小さな軌道」を開いた端末（ログイン不要）
• メモ用の紙か表計算
• 3つの星系のうち、比較に使う一つ（まず一つに絞ります）

手順

1. 星系を一つ選び、発射角度を固定します。以後、角度は変えません。
2. 全軌道予測（点線）を表示した状態で、初速だけを少しずつ変えます。変えるたびに、点線の形を記録します。「ゲートの手前で星に近づく」「大きく外へ膨らむ」「閉じた輪に近い」といった言葉で十分です。
3. 実際に発射し、前回の軌道（細い実線）と今回を見比べます。点線と実際の軌道が重なるかを確認します。
4. 予測を消して同じ初速で発射し、点線ありの場合と軌道が同じ形になるかを見ます。
5. 初速を一段階ずつ上げ、点線が「閉じた輪から開いた曲線へ変わる境目」の付近を探します。その境目を記録します。
6. 発射位置が星から同じ距離なら、円軌道に近い初速と、境目の初速を比べます。比が1.41前後になるかを見ます。

記録の取り方

初速の設定値、角度、点線の形の言葉、実際の軌道が点線と一致したか（はい／いいえ）を、1回の発射につき1行で記録します。同じ設定を2〜3回繰り返し、毎回同じ軌道になるかも確認します。軌道のぶれの有無は、乱数が混ざっているかを見分ける手がかりになります。

結果の読み方

• 同じ設定で必ず同じ軌道になれば、決まった規則で動いています。
• 点線と実際の軌道が重なれば、予測表示は実際の運動と同じ計算を使っていると読み取れます。ずれる場合は、予測に簡略化があるか、障害物など別の要素が加わっている可能性があります。
• 閉じる／開く境目の比が1.41前後なら、二体問題の逆二乗則に近い設計だと読み取れます。大きく外れても、それだけで誤りとは言えません。ゲーム用に引力の式を調整している可能性や、発射位置の距離が揃っていない可能性があります。
• 星が動くかどうかも観察します。星が固定されたままなら、前節の近似を採っていると読めます。

起こりやすい誤り

• 発射位置が星系ごとに違うのに、星系をまたいで初速を比べてしまうこと。比較は同じ星系の中で行います。
• 画面の拡大や縮小で、見かけの曲がり方が変わったと誤認すること。画面サイズを変えるときは、前後の条件を揃えます。
• 1回の観察で結論を出すこと。繰り返して初めて、規則かどうかが分かります。

手元で数値積分を動かしてみる

作品の中身を知らなくても、前節の「円軌道の初速とその√2倍」は自分で確かめられます。ブラウザの開発者ツールのコンソールに貼り付けると動く、最小の例です。星の質量と万有引力定数の積（GM）を1、発射位置を星から距離1の点としています。

function run(v, steps = 20000, dt = 0.001) {
  let x = 1, y = 0, vx = 0, vy = v;
  let rmin = 1, rmax = 1;
  for (let i = 0; i < steps; i++) {
    const r = Math.hypot(x, y);
    const a = -1 / (r * r * r); // GM = 1、a*x が加速度の x 成分
    vx += a * x * dt;
    vy += a * y * dt;
    x += vx * dt;
    y += vy * dt;
    const rr = Math.hypot(x, y);
    rmin = Math.min(rmin, rr);
    rmax = Math.max(rmax, rr);
  }
  return { rmin, rmax };
}
console.log(run(1.0), run(0.8), run(1.2), run(1.5));

読み方は次のとおりです。

• 初速1.0は、この単位では円軌道の速さです。最小距離と最大距離がほぼ等しければ、円に近い軌道です。
• 0.8と1.2は楕円になるはずです。最小距離と最大距離の差が開いているかを見ます。
• 1.5は脱出速度（約1.41）を超えます。最大距離が大きく伸びていれば、星から離れていく軌道です。
• 刻み幅 dt を10倍にして同じ計算を行うと、数値の誤差で軌道がずれます。誤差の出方も見てください。

このコードでは、速度を先に更新してから位置を更新しています。この順序は誤差が溜まりにくいことが知られている方法です。順序を逆にして比べると、違いが分かります。

省略しても遊びが成立する理由

ここからは、確認済みの機能から読み取れる設計の話です。内部の実装については何も言えないので、「こう読める」という範囲にとどめます。

操作が二つに絞られています。 決めるのは発射角度と初速だけです。二体問題では、この二つ（と発射位置）で軌道の形が決まります。三体以上だと、わずかな違いが結果を大きく変えて予測しにくくなりますが、二体なら「少し変えると少し変わる」という手応えが保たれます。省略したものが、遊びの納得感を支えていると読めます。

予測が見えます。 全軌道予測（点線）があり、前回の軌道（細い実線）も残ります。点線で見込みを立て、実線で結果を確かめ、前回との差から次の調整を決める流れが、画面の上に用意されています。式を知らなくても、観察から直感を育てられる作りです。

難しさを選べます。 予測を消して挑むこともできます。点線なしでは、さきほどの「初速と軌道の関係」を頭の中に持っていなければなりません。省略した物理を、遊ぶ側が自分の経験で補う遊び方です。

やり直しの負担が軽いです。 一時停止から同じ位置で再開でき、最速記録はプレイ中だけ残ります。失敗を重ねても、試行錯誤の損失が小さい設計です。

物理の厳密さより、読み取れることを優先しているように見えます。 現実の宇宙には、他の天体の影響や、時間のかかる長距離の移動があります。それらを省いても、「引かれて曲がる」「速いほど遠くへ行く」という中心の感覚は残ります。ただし、実際にどこまで省いているかは、前節の実験で確かめてください。

あわせて、この作品は独立したHTMLで外部通信なしに動き、「動きを抑える」設定にも対応しています。動きの多い軌道表示を落ち着いて確かめたい場合は、この設定も試せます。

次の行動

「小さな軌道」を開き、角度を固定して初速だけを変える実験を、まず1つの星系で10回ほど行ってください。その後、コンソールに上のコードを貼って、円軌道と脱出の目安を数字で見比べてみてください。ゲームの軌道と数値積分の軌道が似ていれば、二体問題の考え方で遊びを読み解けています。

参考資料

• 高校物理の教科書（万有引力、円運動、惑星の運動の単元）
• ケプラーの法則とニュートンの万有引力の法則に関する一般的な力学の入門書